Упр.642 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) 415 * 425 и 426 * 414;
2) 1 234 567 * 1 234 569 и 1 234 568^2.
Является ли тождеством равенство:
(а-2)(а-3)(а + 3)(а + 2) + а2 = (а2 — б)2?

1) Представим произведения в виде разности квадратов:

$$415 \cdot 425 = (420 — 5)(420 + 5) = 420^2 — 25,$$
$$426 \cdot 414 = (420 + 6)(420 — 6) = 420^2 — 36.$$

Так как $$420^2 — 25 > 420^2 — 36,$$ то

$$415 \cdot 425 > 426 \cdot 414.$$

2) Аналогично:

$$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 = (1\,234\,568 — 1)(1\,234\,568 + 1) = 1\,234\,568^2 — 1.$$

Следовательно,

$$1\,234\,568^2 — 1 < 1\,234\,568^2,$$

значит

$$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2.$$

3) Проверим тождество:

$$
(a-2)(a-3)(a+3)(a+2)+a^2
$$

Сгруппируем множители:

$$
(a-2)(a+2) = a^2 — 4,\qquad (a-3)(a+3) = a^2 — 9.
$$

Тогда

$$
(a^2-4)(a^2-9)+a^2 = a^4 — 9a^2 — 4a^2 + 36 + a^2 = a^4 — 12a^2 + 36.
$$

С другой стороны,

$$
(a^2-6)^2 = a^4 — 12a^2 + 36.
$$

Левые и правые части равны при любом значении $$a$$, значит это тождество.

Ответ

1) $$415 \cdot 425 > 426 \cdot 414$$;
2) $$1\,234\,567 \cdot 1\,234\,569 < 1\,234\,568^2$$;
3) да, равенство является тождеством.