Упр.639 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Какое число надо прибавить к многочлену 100m4 + 120m2 + 40, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена?

Подробный ответ

1) Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

$$
(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)
$$
$$
=81n^2-16-(32n^2+24n-8n-6)+30n+45
$$
$$
=81n^2-16-32n^2-16n+6+30n+45
$$
$$
=49n^2+14n+35
$$
$$
=7(7n^2+2n+5).
$$

Следовательно, выражение делится нацело на $$7$$ при любом натуральном $$n$$.

2) Подберём число, которое нужно прибавить к многочлену $$100m^4+120m^2+40$$, чтобы получить квадрат двучлена.

$$
100m^4+120m^2+40=(10m^2)^2+2\cdot 10m^2\cdot 6+40.
$$

Чтобы это было квадратом двучлена, нужно, чтобы последний член был равен $$6^2=36$$. Значит, вместо $$40$$ должно быть $$36$$, то есть нужно прибавить $$-4$$.

$$
100m^4+120m^2+40-4=100m^4+120m^2+36=(10m^2+6)^2.
$$