Упр.638 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что не существует такого натурального числа n, при котором значение выражения (4n + 3)(9n — 4) — (6n — 5) (6а + 5) — 3(n — 2) делится нацело на 8. Какое число надо прибавить к многочлену 81а2b2 -36аb+ 9, чтобы полученное выражение было тождественно равно квадрату двучлена? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 638 715

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$
(4n+3)(9n-4)-(6n-5)(6n+5)-3(n-2)
$$
$$
= (36n^2-16n+27n-12)-(36n^2-25)-3n+6
$$
$$
= 36n^2+11n-12-36n^2+25-3n+6
$$
$$
= 8n+19.
$$

Число $$8n$$ делится на $$8$$, а число $$19$$ на $$8$$ не делится. Значит, всё выражение имеет вид $$8k+3$$ и нацело на $$8$$ делиться не может.

2) Рассмотрим многочлен:

$$
81a^2b^2-36ab+9.
$$

Первые и вторые члены подсказывают квадрат двучлена:

$$
81a^2b^2=(9ab)^2,\qquad -36ab=-2\cdot 9ab \cdot 2.
$$

Чтобы получить квадрат двучлена, нужно заменить число $$9$$ на $$4$$:

$$
81a^2b^2-36ab+4=(9ab-2)^2.
$$

Значит, к данному многочлену надо прибавить $$-5$$.