Упр.623 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (2а — b)(2а + b) + b2;
2) 10х2 + (у — 5х)(у + 5х);
3) 64m2 — (8m + 9)(8m — 9);
4) (4х- 7у)(4х + 7у) + (1х- 4у)(7х + 4y);
5) (а — 2)(а + 3) + (6 — а)(а + 6);
6) 3а(а — b) — (3а + 2b)(3a — 2b). Известно, что натуральные числа m и n таковы, что значение выражения 10m + n делится нацело на 11. Докажите, что значение выражения (10m + n)(10n + m) делится нацело на 121.

1. $$ (2a-b)(2a+b)+b^2=4a^2-b^2+b^2=4a^2 $$
2. $$ 10x^2+(y-5x)(y+5x)=10x^2+y^2-25x^2=y^2-15x^2 $$
3. $$ 64m^2-(8m+9)(8m-9)=64m^2-(64m^2-81)=81 $$
4. $$ (4x-7y)(4x+7y)+(7x-4y)(7x+4y) $$
   $$ =16x^2-49y^2+49x^2-16y^2=65x^2-65y^2=65(x^2-y^2) $$
5. $$ (a-2)(a+3)+(6-a)(a+6) $$
   $$ =a^2+a-6+36-a^2= a+30 $$
6. $$ 3a(a-b)-(3a+2b)(3a-2b) $$
   $$ =3a^2-3ab-(9a^2-4b^2) $$
   $$ =-6a^2-3ab+4b^2 $$

Докажем делимость на $$121$$.

Так как $$10m+n$$ делится на $$11$$, то существует натуральное число $$k$$ такое, что

$$10m+n=11k.$$

Тогда

$$10n+m=10(11k-10m)+m=110k-99m=11(10k-9m),$$

то есть выражение $$10n+m$$ тоже делится на $$11$$.

Следовательно, произведение

$$ (10m+n)(10n+m) $$

делится на $$11\cdot 11=121$$.

Ответ

1) $$4a^2$$;
2) $$y^2-15x^2$$;
3) $$81$$;
4) $$65(x^2-y^2)$$;
5) $$a+30$$;
6) $$-6a^2-3ab+4b^2$$;
$$ (10m+n)(10n+m) $$ делится на $$121$$.