Упр.615 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (b — с)(b + с) = b^2 — с^2; 3) (х + у)(у — х) = у^2 — х^2;
2) (m + n)(m — n) = m^2 + n^2; 4) (р — q)(p + q) = (р — q)^2? Докажите, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может являться квадратом натурального числа.

Подробный ответ

Используем формулу разности квадратов:

$$ (a-b)(a+b)=a^2-b^2. $$

$$ (b-c)(b+c)=b^2-bc+bc-c^2=b^2-c^2. $$
Равенство является тождеством.
$$ (m+n)(m-n)=m^2-mn+mn-n^2=m^2-n^2. $$
Получили не $$m^2+n^2$$, значит равенство не является тождеством.
$$ (x+y)(y-x)=xy-x^2+y^2-xy=y^2-x^2. $$
Равенство является тождеством.
$$ (p-q)(p+q)=p^2+pq-pq-q^2=p^2-q^2. $$
Это не равно $$ (p-q)^2=p^2-2pq+q^2 $$, значит равенство не является тождеством.

Докажем, что сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.

Пусть эти числа: $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4.$$ Тогда

$$
n^2+(n+1)^2+(n+2)^2+(n+3)^2+(n+4)^2
$$
$$
= n^2+n^2+2n+1+n^2+4n+4+n^2+6n+9+n^2+8n+16
$$
$$
=5n^2+20n+30=5(n^2+4n+6).
$$

Полученное число делится на $$5$$. Если бы оно было квадратом натурального числа, то этот квадрат тоже делился бы на $$5$$, значит, число под корнем должно делиться на $$5$$. Но тогда квадрат делился бы на $$25$$, а выражение $$5(n^2+4n+6)$$ не всегда кратно $$25$$. Следовательно, сумма квадратов пяти последовательных натуральных чисел не может быть квадратом натурального числа.