Упр.613 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
1) сумму чисел а и с;
2) разность чисел m и n;
3) произведение суммы чисел х и у и их разности;
4) квадрат разности чисел x и у;
5) разность квадратов чисел x и у.
Докажите тождество:
(2n +1)2 + (2n2 + 2n)2 = (2n2 +2n + 1)2.
Данное тождество является правилом великого древнегреческого учёного Пифагора (VT в. до н. э.) для вычисления целочисленных значений длин сторон прямоугольного треугольника. При одних и тех же натуральных значениях n значения выражений 2n + 1; 2n2 + 2n; 2n1 + 2n + 1 являются длинами сторон прямоугольного треугольника.
1) Сумма чисел $$a$$ и $$c$$:
$$a+c$$
2) Разность чисел $$m$$ и $$n$$:
$$m-n$$
3) Произведение суммы чисел $$x$$ и $$y$$ и их разности:
$$\left(x+y\right)\left(x-y\right)$$
4) Квадрат разности чисел $$x$$ и $$y$$:
$$\left(x-y\right)^2$$
5) Разность квадратов чисел $$x$$ и $$y$$:
$$x^2-y^2$$
Докажем тождество:
$$\left(2n+1\right)^2+\left(2n^2+2n\right)^2=\left(2n^2+2n+1\right)^2$$
Раскроем скобки в левой части:
$$\left(2n+1\right)^2=4n^2+4n+1$$
$$\left(2n^2+2n\right)^2=4n^4+8n^3+4n^2$$
Тогда
$$\left(2n+1\right)^2+\left(2n^2+2n\right)^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$$
Теперь раскроем квадрат в правой части:
$$\left(2n^2+2n+1\right)^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$$
Левая и правая части равны, значит, тождество доказано.
Ответ
1) $$a+c$$; 2) $$m-n$$; 3) $$\left(x+y\right)\left(x-y\right)$$; 4) $$\left(x-y\right)^2$$; 5) $$x^2-y^2$$.
$$\left(2n+1\right)^2+\left(2n^2+2n\right)^2=\left(2n^2+2n+1\right)^2$$
