Упр.607 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Известно, что при некоторых значениях х и у выполняется равенство х2 + у2 = 1. Найдите при этих же значениях х и у значение выражения 2х4 + 3х2у2 + у4 + у2. Остаток при делении некоторого натурального числа на 9 равен 5. Чему равен остаток при делении на 9 квадрата этого числа?

Подробный ответ

1) Используем равенство $$x^2+y^2=1$$ и преобразуем выражение:

$$
2x^4+3x^2y^2+y^4+y^2
=2x^4+2x^2y^2+x^2y^2+y^4+y^2
$$

$$
=2x^2(x^2+y^2)+y^2(x^2+y^2)+y^2
$$

$$
=2x^2\cdot 1+y^2\cdot 1+y^2
=2x^2+2y^2
=2(x^2+y^2)=2\cdot 1=2.
$$

2) Пусть натуральное число имеет вид $$n=9x+5$$. Тогда

$$
n^2=(9x+5)^2=81x^2+90x+25.
$$

Представим это так:

$$
81x^2+90x+25=9(9x^2+10x+2)+7.
$$

Значит, при делении на 9 квадрат этого числа даёт остаток $$7$$.