Упр.606 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что при любом натуральном значении n, большем 1, значение выражения 3^(n + 2) — 2^(n + 2) + 3n — 2n делится нацело на 10. Докажите, что если остаток при делении натурального числа на 25 равен 5, то квадрат этого числа кратен 25.

1) Преобразуем выражение:

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n=3^n\cdot 3^2-2^n\cdot 2^2+3^n-2^n$$

$$=3^n(9+1)-2^n(4+1)=10\cdot 3^n-5\cdot 2^n$$

$$=5(2\cdot 3^n-2^n)=10\left(3^n-2^{n-1}\right).$$

Значит, выражение делится нацело на $$10$$ при любом натуральном $$n>1$$.

2) Пусть натуральное число имеет вид $$25k+5$$, где $$k$$ — целое неотрицательное число. Тогда

$$\left(25k+5\right)^2=625k^2+250k+25=25\left(25k^2+10k+1\right).$$

Следовательно, квадрат этого числа кратен $$25$$.

Ответ

$$3^{n+2}-2^{n+2}+3^n-2^n$$ делится на $$10$$ при любом натуральном $$n>1$$; если число при делении на $$25$$ даёт остаток $$5$$, то его квадрат кратен $$25$$.