Упр.604 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что разность суммы квадратов двух последовательных целых чисел и их удвоенного произведения не зависит от выбора чисел.

1) Преобразуем выражение:

$$n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n^2+n+2n+2)=n\bigl(n(n+1)+2(n+1)\bigr)=n(n+1)(n+2).$$

Получилось произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$2$$, а одно — на $$3$$. Значит, их произведение делится на $$6$$.

2) Пусть первое число равно $$n$$, тогда второе — $$n+1$$. Рассмотрим разность суммы квадратов и удвоенного произведения:

$$n^2+(n+1)^2-2n(n+1)=n^2+n^2+2n+1-2n^2-2n=1.$$

Получили число $$1$$, которое не зависит от выбора чисел.

Ответ

$$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на $$6$$ при всех натуральных $$n$$; разность равна $$1$$ и не зависит от выбора чисел.