Упр.603 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) х2 + 4х + 3;
2) х2 — 10х + 16;
3) х2 + 3х -18;
4) х2 — 4х — 32. Выясните, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4.

1) Разложим на множители:

$$x^2+4x+3=x^2+3x+x+3=x(x+3)+1(x+3)=(x+3)(x+1).$$

2) $$x^2-10x+16=x^2-8x-2x+16=x(x-8)-2(x-8)=(x-8)(x-2).$$

3) $$x^2+3x-18=x^2+6x-3x-18=x(x+6)-3(x+6)=(x+6)(x-3).$$

4) $$x^2-4x-32=x^2-8x+4x-32=x(x-8)+4(x-8)=(x-8)(x+4).$$

Теперь выясним, какой остаток может давать квадрат натурального числа при делении на 4.

Пусть $$n$$ — натуральное число.

Если $$n=2m$$, то

$$n^2=(2m)^2=4m^2,$$

значит, при делении на 4 остаток равен $$0$$.

Если $$n=2m+1$$, то

$$n^2=(2m+1)^2=4m^2+4m+1,$$

значит, при делении на 4 остаток равен $$1$$.

Ответ

1) $$(x+3)(x+1);$$
2) $$(x-8)(x-2);$$
3) $$(x+6)(x-3);$$
4) $$(x-8)(x+4).$$

Квадрат натурального числа при делении на 4 может давать остаток $$0$$ или $$1$$.