Упр.602 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
1) х2 +8х + 12;
2) х2 — 5х + 4;
3) х2 +7х —8;
4) х2 -4х-5. Чему равен остаток при делении квадрата нечётного натурального числа на 8?
$$x^2+8x+12=x^2+2x+6x+12=x(x+2)+6(x+2)=(x+2)(x+6).$$
$$x^2-5x+4=x^2-4x-x+4=x(x-4)-(x-4)=(x-4)(x-1).$$
$$x^2+7x-8=x^2+8x-x-8=x(x+8)-(x+8)=(x+8)(x-1).$$
$$x^2-4x-5=x^2-5x+x-5=x(x-5)+(x-5)=(x-5)(x+1).$$
Пусть нечётное натуральное число имеет вид $$2n+1$$. Тогда
$$
(2n+1)^2=4n^2+4n+1=4n(n+1)+1.
$$
Числа $$n$$ и $$n+1$$ — последовательные, значит, одно из них делится на $$2$$. Тогда произведение $$n(n+1)$$ делится на $$2$$, а значит, $$4n(n+1)$$ делится на $$8$$.
Следовательно, при делении квадрата нечётного натурального числа на $$8$$ остаток равен $$1$$.
Ответ
1) $$(x+2)(x+6)$$; 2) $$(x-4)(x-1)$$; 3) $$(x+8)(x-1)$$; 4) $$(x-5)(x+1)$$; остаток $$1$$.
