Упр.566 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) а + b + с = 0, то а3b3с2 + а2b4с2 + а2b3с3 = 0;
2) а2 — b2 = 2аb +1, то а6b4 — 2а5b5 — а4b6 = а4b4. Меню состоит из 101 блюда. Докажите, что количество способов выбора обеда из нечётного количества блюд равно количеству способов выбора обеда из чётного количества блюд при условии, что заказать все блюда из меню нельзя.

Подробный ответ

Если $$a+b+c=0,$$ то
$$a^3b^3c^2+a^2b^4c^2+a^2b^3c^3=a^2b^3c^2(a+b+c).$$
Так как $$a+b+c=0,$$ получаем
$$a^2b^3c^2(a+b+c)=a^2b^3c^2\cdot 0=0.$$
Следовательно, равенство верно.
Если $$a^2-b^2=2ab+1,$$ то
$$a^6b^4-2a^5b^5-a^4b^6=a^4b^4(a^2-2ab-b^2).$$
Из условия имеем
$$a^2-b^2=2ab+1,$$
значит
$$a^2-2ab-b^2=1.$$
Тогда
$$a^4b^4(a^2-2ab-b^2)=a^4b^4\cdot 1=a^4b^4.$$
Следовательно, равенство верно.
Пусть из 101 блюда выбирают обед, но нельзя заказать все блюда. Тогда можно выбирать любое непустое подмножество из 101 блюда, кроме полного набора.
Всего блюд 101 — нечётное число. Если рассматривать все подмножества, кроме пустого и полного, то каждому набору из чётного числа блюд соответствует набор из нечётного числа блюд, получающийся добавлением или удалением одного блюда. Так как полное множество исключено, число способов выбрать обед из нечётного числа блюд равно числу способов выбрать обед из чётного числа блюд.