Упр.557 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) имеет бесконечно много корней;
2) не имеет корней;
3) имеет один корень?

Рассмотрим уравнение $$\left(b^2-4\right)x=b-2.$$

Это линейное уравнение относительно $$x$$. Количество корней зависит от коэффициента при $$x$$:

$$b^2-4=(b-2)(b+2).$$

1) Уравнение имеет бесконечно много корней, если оно превращается в тождество $$0x=0$$. Для этого нужно:

$$b^2-4=0 \quad \text{и} \quad b-2=0.$$

Из $$b-2=0$$ получаем $$b=2$$. Проверка:

$$\left(2^2-4\right)x=2-2$$

$$0x=0.$$

Значит, при $$b=2$$ уравнение имеет бесконечно много корней.

2) Уравнение не имеет корней, если левая часть обращается в нуль, а правая — нет:

$$b^2-4=0 \quad \text{и} \quad b-2\ne 0.$$

Из $$b^2-4=0$$ получаем $$b=\pm 2$$. Подходит только $$b=-2$$, так как тогда

$$\left((-2)^2-4\right)x=-2-2$$

$$0x=-4.$$

Следовательно, при $$b=-2$$ корней нет.

3) Во всех остальных случаях, то есть при $$b\ne \pm 2$$, коэффициент при $$x$$ не равен нулю, и уравнение имеет один корень:

$$x=\frac{b-2}{b^2-4}=\frac{b-2}{(b-2)(b+2)}=\frac{1}{b+2} \quad (b\ne \pm 2).$$

Ответ

1) $$b=2$$; 2) $$b=-2$$; 3) $$b\ne \pm 2$$.