Упр.556 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что сумма любого натурального числа и его квадрата является чётным числом. Остаток от деления на 7 одного натурального числа равен 4, а другого числа равен 3. Докажите, что разность квадратов этих чисел кратна 7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 556 715

Подробный ответ

Пусть натуральное число равно $$n$$. Тогда сумма этого числа и его квадрата равна

$$n+n^2=n(1+n)=n(n+1).$$

Это произведение двух последовательных натуральных чисел. Среди двух последовательных чисел одно обязательно чётное, значит их произведение чётно. Следовательно, $$n+n^2$$ — чётное число.

Пусть первое число имеет вид $$7a+4$$, а второе — $$7b+3$$, где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа или нули. Тогда

$$
(7a+4)^2-(7b+3)^2
=((7a+4)-(7b+3))((7a+4)+(7b+3)).
$$

Преобразуем:

$$
(7a+4)^2-(7b+3)^2
=(7a-7b+1)(7a+7b+7)
=7(7a-7b+1)(a+b+1).
$$

Получили произведение, содержащее множитель $$7$$, значит разность квадратов этих чисел кратна $$7$$.