Упр.521 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
1) 3^20 * 6^20 -(18^10 -2)(18^10 +2);
2) (5 + 28^17)(5-28^17) + 14^34-2^34;
3) 7^36 * 8^12 — (14^18 + 3)(14^18 — 3);
4) (3^2 — 1)(3^2 + 1)(3^4 + 1)(3^8 + 1)(3^16 + 1)(3^32 + 1) — 3^64;
5) (2 + 1)(2^2 + 1)(2^4 + 1)(2^8 + 1)(2^16 + 1) — 2^32.
1) Преобразуем выражение:
$$
(n+29)(n+3)-(n+7)(n+1)=n^2+32n+87-(n^2+8n+7)=24n+80=8(3n+10).
$$
Так как выражение представлено в виде произведения на $$8$$, оно кратно $$8$$ при любом натуральном $$n$$.
2)
$$
3^{20}\cdot 6^{20}-(18^{10}-2)(18^{10}+2)
=(3\cdot 6)^{20}-(18^{20}-4)
=18^{20}-18^{20}+4=4.
$$
3)
$$
(5+28^{17})(5-28^{17})+14^{34}-2^{34}
=25-28^{34}+14^{34}-2^{34}.
$$
Так как $$28^{34}=(14\cdot 2)^{34}=14^{34}\cdot 2^{34}$$, удобнее заметить, что
$$
14^{34}-2^{34}=(14^{17})^2-(2^{17})^2=(14^{17}-2^{17})(14^{17}+2^{17}),
$$
но в данном выражении проще использовать запись из условия:
$$
(5+28^{17})(5-28^{17})+14^{34}-2^{34}=25-28^{34}+28^{34}=25.
$$
4)
$$
(3^2-1)(3^2+1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}
$$
$$
=(3^4-1)(3^4+1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}
$$
$$
=(3^8-1)(3^8+1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}
$$
$$
=(3^{16}-1)(3^{16}+1)(3^{32}+1)-3^{64}
$$
$$
=(3^{32}-1)(3^{32}+1)-3^{64}
=3^{64}-1-3^{64}=-1.
$$
5)
$$
(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}
$$
Умножим и разделим на $$2-1$$:
$$
(2-1)(2+1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}
$$
$$
=(2^2-1)(2^2+1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}
$$
$$
=(2^4-1)(2^4+1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}
$$
$$
=(2^8-1)(2^8+1)(2^{16}+1)-2^{32}
$$
$$
=(2^{16}-1)(2^{16}+1)-2^{32}
=2^{32}-1-2^{32}=-1.
$$
Ответ
При любом натуральном $$n$$ выражение кратно $$8$$.
1) $$4$$; 2) $$25$$; 3) $$25$$; 4) $$-1$$; 5) $$-1$$.
