Упр.520 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: При всех ли натуральных значениях n значение выражения (n + 9)(n + 11) — (n + 3)(n + 5) кратно 12? Докажите, что при любом натуральном п значение выражения (9а — 4)(9n + 4) — (8n — 2)(4n + 3) + 5(6n + 9) делится нацело на 7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 520 715

1) Упростим выражение:

$$
(n+9)(n+11)-(n+3)(n+5)
$$

$$
= n^2+20n+99-(n^2+8n+15)
$$

$$
= 12n+84 = 12(n+7).
$$

Следовательно, при любом натуральном $$n$$ это выражение кратно $$12$$.

2) Упростим второе выражение:

$$
(9n-4)(9n+4)-(8n-2)(4n+3)+5(6n+9)
$$

$$
= (81n^2-16)-(32n^2+24n-8n-6)+30n+45
$$

$$
= 81n^2-16-32n^2-16n+6+30n+45
$$

$$
= 49n^2+14n+35 = 7(7n^2+2n+5).
$$

Значит, при любом натуральном $$n$$ это выражение делится на $$7$$.

Ответ

Да, первое выражение при любом натуральном $$n$$ кратно $$12$$, а второе при любом натуральном $$n$$ делится на $$7$$.