Упр.519 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 3а^2 + 10а + 3 = 3(а + 3)(a + 1/3);
2) (а + 1)(a^2 + 5а + 6) = (а^2 + 3а + 2)(а + 3). Докажите, что не существует такого натурального числа n, при котором значение выражения (4n + 3)(9n — 4) — (6n — 5) (6а + 5) — 3(n — 2) делится нацело на 8.

Подробный ответ

1) Раскроем скобки в правой части:

$$3(a+3)\left(a+\frac13\right)=3\left(a^2+\frac13a+3a+1\right)=3a^2+10a+3.$$

Левая и правая части равны, значит тождество верно.

2) Раскроем скобки в обеих частях:

$$
(a+1)(a^2+5a+6)=a^3+5a^2+6a+a^2+5a+6=a^3+6a^2+11a+6,
$$

$$
(a^2+3a+2)(a+3)=a^3+3a^2+3a^2+9a+2a+6=a^3+6a^2+11a+6.
$$

Обе части совпадают, значит тождество верно.

3) Упростим выражение:

$$
(4n+3)(9n-4)-(6n-5)(6n+5)-3(n-2)
$$

$$
=36n^2-16n+27n-12-(36n^2-25)-3n+6
$$

$$
=8n+19.
$$

Число $$8n+19$$ при делении на $$8$$ даёт остаток $$3$$, так как $$8n$$ делится на $$8$$, а $$19$$ на $$8$$ не делится. Значит, это выражение не делится нацело на $$8$$ ни при каком натуральном $$n$$.