Упр.518 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) х2-8x + 7 = (x-1)(х-7);
2) y2(y- 7)(y + 2) = y4 — 5y3 -14y2;
3) а3-8 = (а- 2)(а2 + 2 а + 4);
4) (а — 1)(a + 1)(а2 + 1) = а4 — 1;
5) (а4 -а2 +1)(а4 + а2 + 1) = а8 + а4 +1.
Докажите, что при любом натуральном n значение выражения (7n + 8)(7n — 8) — (5n + 10)(5n — 10) делится нацело на 12.

1. $$x^2-8x+7=x^2-7x-x+7=x(x-7)-1(x-7)=(x-1)(x-7).$$

2. $$y^2(y-7)(y+2)=y^2(y^2+2y-7y-14)=y^4+2y^3-7y^3-14y^2=y^4-5y^3-14y^2.$$

3. $$a^3-8=a^3-2^3=(a-2)(a^2+2a+4).$$

4. $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=(a^2-1)(a^2+1)=a^4-1.$$

5. $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1)=\bigl((a^4+1)-a^2\bigr)\bigl((a^4+1)+a^2\bigr)$$
   $$=(a^4+1)^2-a^4=a^8+2a^4+1-a^4=a^8+a^4+1.$$

Докажем, что выражение $$ (7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10) $$ делится нацело на $$12$$ при любом натуральном $$n$$.

Раскроем скобки:
$$ (7n+8)(7n-8)=49n^2-64, $$
$$ (5n+10)(5n-10)=25n^2-100. $$

Тогда
$$
(7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10)=49n^2-64-(25n^2-100)=24n^2+36.
$$

Вынесем общий множитель:
$$24n^2+36=12(2n^2+3).$$
Значит, выражение делится нацело на $$12$$.

Ответ

1) $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7)$$;
2) $$y^2(y-7)(y+2)=y^4-5y^3-14y^2$$;
3) $$a^3-8=(a-2)(a^2+2a+4)$$;
4) $$(a-1)(a+1)(a^2+1)=a^4-1$$;
5) $$(a^4-a^2+1)(a^4+a^2+1)=a^8+a^4+1$$;
$$ (7n+8)(7n-8)-(5n+10)(5n-10) $$ делится на $$12$$ при любом натуральном $$n$$.