Упр.490 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Разложите на множители многочлен: а2 + b2 + с2 + 2аb + 2bс + 2ас.

1) Так как остаток при делении $$m$$ на $$5$$ равен $$3$$, то

$$m=5a+3,$$

а так как остаток при делении $$n$$ на $$3$$ равен $$2$$, то

$$n=3b+2,$$

где $$a$$ и $$b$$ — натуральные числа.

Тогда

$$
3m+5n=3(5a+3)+5(3b+2)=15a+9+15b+10=15a+15b+19.
$$

Число $$15a+15b$$ делится на $$15$$, а число $$19$$ не делится на $$15$$. Значит, всё выражение $$3m+5n$$ нацело на $$15$$ не делится.

2) Разложим многочлен на множители:

$$
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac
$$

Сгруппируем слагаемые:

$$
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a^2+2ab+b^2)+(2ac+2bc+c^2)
$$

Удобнее сразу заметить, что это полный квадрат суммы:

$$
a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2.
$$

Ответ

$$3m+5n$$ нацело на $$15$$ не делится; $$a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=(a+b+c)^2.$$