Упр.489 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Остаток при делении натурального числа а на 3 равен 1, а остаток при делении натурального числа b на 9 равен 7. Докажите, что значение выражения 4а + 2b делится нацело на 3. Докажите, что при всех натуральных значениях п значение выражения n3 + 3n2 + 2n делится нацело на 6. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 489 715

1) Так как остаток при делении числа $$a$$ на $$3$$ равен $$1$$, то $$a=3k+1$$, где $$k$$ — натуральное число или целое число.

Так как остаток при делении числа $$b$$ на $$9$$ равен $$7$$, то $$b=9m+7$$, где $$m$$ — целое число.

Тогда

$$
4a+2b=4(3k+1)+2(9m+7)=12k+4+18m+14=12k+18m+18.
$$

Вынесем $$6$$ за скобки:

$$
12k+18m+18=6(2k+3m+3).
$$

Значит, выражение $$4a+2b$$ делится нацело на $$3$$, так как оно кратно $$6$$.

2) Преобразуем выражение:

$$
n^3+3n^2+2n=n(n^2+3n+2)=n(n+1)(n+2).
$$

Получилось произведение трёх последовательных натуральных чисел. Среди любых трёх последовательных чисел одно делится на $$2$$, а одно делится на $$3$$, значит, их произведение делится на $$6$$.

Следовательно, $$n^3+3n^2+2n$$ делится нацело на $$6$$ при любом натуральном $$n$$.

Ответ

$$4a+2b$$ делится на $$3$$; $$n^3+3n^2+2n$$ делится на $$6$$ при всех натуральных $$n$$.