Упр.468 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) ab(b -с) + ас(с — b) — а (b2 — 3bс + с2) = abc;
2) 4а(а + b) — а(3а — 4b) — 8аb = а2;
3) а(а + 2b) + b(а + b) = b(2а + b) + а(а + b);
4) а(b + с — bс) — b(а + с — ас) = (а — b)с.
При каком значении а имеет бесконечно много корней уравнение:
1) (х — 4)(х + а) — (х + 2)(х — а) = -6;
2) х(3х — 2) — (х + 2а) (3х + 2) = 5а + 6?

1. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
   $$ab(b-c)+ac(c-b)-a(b^2-3bc+c^2)$$
   $$
   =ab^2-abc+ac^2-abc-ab^2+3abc-ac^2
   $$
   $$
   =abc.
   $$
   Тождество верно.

2. $$4a(a+b)-a(3a-4b)-8ab$$
   $$
   =4a^2+4ab-3a^2+4ab-8ab
   $$
   $$
   =a^2.
   $$
   Тождество верно.

3. Левая часть:
   $$a(a+2b)+b(a+b)=a^2+2ab+ab+b^2=a^2+3ab+b^2.$$
   Правая часть:
   $$b(2a+b)+a(a+b)=2ab+b^2+a^2+ab=a^2+3ab+b^2.$$
   Следовательно, тождество верно.

4. $$a(b+c-bc)-b(a+c-ac)$$
   $$
   =ab+ac-abc-ab-bc+abc
   $$
   $$
   =ac-bc=(a-b)c.
   $$
   Тождество верно.

Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, оно должно тождественно выполняться при любом $x$.

1. $$ (x-4)(x+a)-(x+2)(x-a)=-6 $$
   $$
   x^2+ax-4x-4a-x^2+ax-2x+2a=-6
   $$
   $$
   2ax-6x-2a=-6
   $$
   $$
   x(2a-6)=2a-6.
   $$
   Чтобы равенство было верно при любом $x$, нужно
   $$2a-6=0,$$
   откуда
   $$a=3.$$

2. $$x(3x-2)-(x+2a)(3x+2)=5a+6$$
   $$
   3x^2-2x-3x^2-2x-6ax-4a=5a+6
   $$
   $$
   -4x-6ax-4a=5a+6
   $$
   $$
   x(-4-6a)=9a+6.
   $$
   Для бесконечно многих корней коэффициент при $x$ и свободный член должны быть равны нулю:
   $$
   -4-6a=0,\qquad 9a+6=0.
   $$
   Из первого уравнения
   $$a=-\frac{2}{3},$$
   и это значение удовлетворяет второму.

Ответ

1) тождество верно;
2) тождество верно;
3) тождество верно;
4) тождество верно;
1) $$a=3$$;
2) $$a=-\frac{2}{3}$$.