Упр.453 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения:
1) 19^5 + 19^4 кратно 20;
2) 8^10 — 8^9 — 8^8 кратно 11;
3) 8^7 + 2^15 кратно 5;
4) 2 * 3^2006 + 5 * 3^2005 + 7 * 3^2004 кратно 10;
5) 27^4 — 9^5 кратно 24;
6) 12^4 — 4^6 кратно 130.

Пусть расстояние от села до станции равно $$x$$ км. Тогда пешеход шёл $$\frac{x}{4}$$ ч, а велосипедист ехал $$\frac{x}{10}$$ ч.

Так как велосипедист выехал через час после пешехода и прибыл на $$0{,}5$$ ч раньше, получаем уравнение:

$$\frac{x}{4}=\frac{x}{10}+1+0{,}5$$

$$\frac{x}{4}-\frac{x}{10}=1{,}5$$

$$\frac{5x-2x}{20}=1{,}5$$

$$\frac{3x}{20}=1{,}5$$

$$3x=30$$

$$x=10$$

Значит, расстояние от села до станции равно $$10$$ км.

Докажем делимость:

1. $$19^5+19^4=19^4(19+1)=19^4\cdot 20,$$
   значит, выражение кратно $$20$$.
2. $$8^{10}-8^9-8^8=8^8(8^2-8-1)=8^8\cdot 55,$$
   значит, выражение кратно $$11$$.
3. $$8^7+2^{15}=(2^3)^7+2^{15}=2^{21}+2^{15}=2^{15}(2^6+1)=2^{15}\cdot 65,$$
   значит, выражение кратно $$5$$.
4. $$2\cdot 3^{2006}+5\cdot 3^{2005}+7\cdot 3^{2004}=3^{2004}(2\cdot 3^2+5\cdot 3+7)$$
   $$=3^{2004}(18+15+7)=3^{2004}\cdot 40,$$
   значит, выражение кратно $$10$$.
5. $$27^4-9^5=(3^3)^4-(3^2)^5=3^{12}-3^{10}=3^{10}(3^2-1)=3^{10}\cdot 8=3^9\cdot 24,$$
   значит, выражение кратно $$24$$.
6. $$12^4-4^6=(2^2\cdot 3)^4-(2^2)^6=2^8\cdot 3^4-2^{12}=2^8(3^4-2^4)$$
   $$=2^8(81-16)=2^8\cdot 65=2^7\cdot 130,$$
   значит, выражение кратно $$130$$.

Ответ

$$10\text{ км};\ 1)\ \text{кратно }20;\ 2)\ \text{кратно }11;\ 3)\ \text{кратно }5;\ 4)\ \text{кратно }10;\ 5)\ \text{кратно }24;\ 6)\ \text{кратно }130.$$