Упр.443 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) сумма пяти последовательных натуральных чисел делится нацело на 5;
2) сумма трёх последовательных чётных натуральных чисел делится нацело на 6;
3) сумма четырёх последовательных нечётных натуральных чисел делится нацело на 8;
4) сумма четырёх последовательных натуральных чисел не делится нацело на 4;
5) остаток от деления на б суммы шести последовательных натуральных чисел равен 3.
Разложите на множители:
1) 2a5b2 — 4а3b + 6а2b3;
2) mn3 + 5m2n2 — 7m2n;
3) ху2 + х2у — ху;
4) 9х3 + 4х2 — х;
5) -6m4 — 8m5 — 2m6;
6) 42а4b — 28а3b2 — 70а5b3.

1. Пусть это пять последовательных натуральных чисел:
   $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4.$$
   Тогда их сумма равна
   $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)=5n+10=5(n+2).$$
   Значит, сумма делится нацело на 5.
2. Пусть три последовательных чётных натуральных числа:
   $$2n,\ 2n+2,\ 2n+4.$$
   Их сумма:
   $$2n+(2n+2)+(2n+4)=6n+6=6(n+1).$$
   Следовательно, сумма делится нацело на 6.
3. Пусть четыре последовательных нечётных натуральных числа:
   $$2n+1,\ 2n+3,\ 2n+5,\ 2n+7.$$
   Тогда
   $$
   (2n+1)+(2n+3)+(2n+5)+(2n+7)=8n+16=8(n+2).
   $$
   Значит, сумма делится нацело на 8.
4. Пусть четыре последовательных натуральных числа:
   $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3.$$
   Их сумма:
   $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)=4n+6.$$
   Число $4n$ делится на 4, а число 6 на 4 не делится, значит, и вся сумма на 4 не делится.
5. Пусть шесть последовательных натуральных чисел:
   $$n,\ n+1,\ n+2,\ n+3,\ n+4,\ n+5.$$
   Их сумма:
   $$n+(n+1)+(n+2)+(n+3)+(n+4)+(n+5)=6n+15.$$
   При делении на 6 получаем:
   $$6n+15=6n+12+3,$$
   то есть остаток равен 3.

Ответ

1. делится на 5;
2. делится на 6;
3. делится на 8;
4. не делится на 4;
5. остаток равен 3.

1. $$2a^5b^2-4a^3b+6a^2b^3=2a^2b\left(a^3b-2a+3b^2\right).$$
2. $$mn^3+5m^2n^2-7m^2n=mn\left(n^2+5mn-7m\right).$$
3. $$xy^2+x^2y-xy=xy(y+x-1).$$
4. $$9x^3+4x^2-x=x(9x^2+4x-1).$$
5. $$-6m^4-8m^5-2m^6=-2m^4(3+4m+m^2).$$
6. $$42a^4b-28a^3b^2-70a^5b^3=14a^3b(3a-2b-5a^2b^2).$$

Ответ

1. $$2a^2b(a^3b-2a+3b^2)$$
2. $$mn(n^2+5mn-7m)$$
3. $$xy(y+x-1)$$
4. $$x(9x^2+4x-1)$$
5. $$-2m^4(3+4m+m^2)$$
6. $$14a^3b(3a-2b-5a^2b^2)$$