Упр.428 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите тождество:
1) 18^16n = 12^8n * 9^12n;
2) 75^8n = 225^4n * 625^2n,
где n — натуральное число.

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$
(9-18n)-(6n-7)=9-18n-6n+7=16-24n=8(2-3n).
$$

Так как $$8(2-3n)$$ делится на $$8$$ при любом натуральном $$n$$, то и всё выражение кратно $$8$$.

2) Докажем тождество:

$$
18^{16n}=12^{8n}\cdot 9^{12n}.
$$

Представим числа в виде простых множителей:

$$
18=2\cdot 3^2,\quad 12=2^2\cdot 3,\quad 9=3^2.
$$

Тогда

$$
18^{16n}=(2\cdot 3^2)^{16n}=2^{16n}\cdot 3^{32n},
$$
$$
12^{8n}\cdot 9^{12n}=(2^2\cdot 3)^{8n}\cdot (3^2)^{12n}
=2^{16n}\cdot 3^{8n}\cdot 3^{24n}
=2^{16n}\cdot 3^{32n}.
$$

Следовательно, $$18^{16n}=12^{8n}\cdot 9^{12n}$$.

3) Докажем тождество:

$$
75^{8n}=225^{4n}\cdot 625^{2n}.
$$

Разложим числа на множители:

$$
75=3\cdot 5^2,\quad 225=3^2\cdot 5^2,\quad 625=5^4.
$$

Тогда

$$
75^{8n}=(3\cdot 5^2)^{8n}=3^{8n}\cdot 5^{16n},
$$
$$
225^{4n}\cdot 625^{2n}=(3^2\cdot 5^2)^{4n}\cdot (5^4)^{2n}
=3^{8n}\cdot 5^{8n}\cdot 5^{8n}
=3^{8n}\cdot 5^{16n}.
$$

Следовательно, $$75^{8n}=225^{4n}\cdot 625^{2n}$$.