Упр.424 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) (2х2 — 14х + 9) + (*) = 20 — 10х;
2) (19а4 — 7a2b + b3) — (*) = 20а4 + 5а2b.
Докажите, что если ab + bс + ас = 0, то:
(а — b) (а — с) + (b — с)(b — а) + (с — а)(с — b) = а2 + b2 + с2.

1. Найдём многочлен, который нужно записать вместо звёздочки:

   $$
   (2x^2-14x+9)+(*)=20-10x
   $$

   $$
   (*)=20-10x-(2x^2-14x+9)
   $$

   $$
   (*)=20-10x-2x^2+14x-9
   $$

   $$
   (*)=-2x^2+4x+11
   $$

2. Аналогично:

   $$
   (19a^4-17a^2b+b^3)-(*)=20a^4+5a^2b
   $$

   $$
   (*)=(19a^4-17a^2b+b^3)-(20a^4+5a^2b)
   $$

   $$
   (*)=19a^4-17a^2b+b^3-20a^4-5a^2b
   $$

   $$
   (*)=-a^4+b^3-22a^2b
   $$

3. Докажем тождество:

   $$
   (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2
   $$

   Раскроем скобки:

   $$
   (a-b)(a-c)=a^2-ac-ab+bc
   $$

   $$
   (b-c)(b-a)=b^2-ab-bc+ac
   $$

   $$
   (c-a)(c-b)=c^2-bc-ac+ab
   $$

   Сложим полученные выражения:

   $$
   a^2-ac-ab+bc+b^2-ab-bc+ac+c^2-bc-ac+ab
   $$

   После сокращения получаем:

   $$
   a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)
   $$

   Так как $$ab+bc+ac=0$$, то

   $$
   a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ac)=a^2+b^2+c^2
   $$

   Что и требовалось доказать.

Ответ

1) $$-2x^2+4x+11$$; 2) $$-a^4+b^3-22a^2b$$; $$ (a-b)(a-c)+(b-c)(b-a)+(c-a)(c-b)=a^2+b^2+c^2 $$.