Упр.423 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
1) * — (3х2 — 4ху + 2у2 ) = 9х2 + у2 ;
2) а3 — 6а2 +2а- (*) = а5 + 2a2 — 7.
Остаток при делении натурального числа m на 11 равен 9, а остаток при делении натурального числа n на 11 равен 5. Докажите, что остаток при делении произведения чисел m и n на 11 равен 1.
Пусть искомый многочлен в первом пункте равен $$*$$. Тогда
$$*-(3x^2-4xy+2y^2)=9x^2+y^2.$$
Перенесём вычитаемый многочлен в правую часть:
$$* = 9x^2+y^2+(3x^2-4xy+2y^2).$$
Сложим подобные слагаемые:
$$* = 12x^2-4xy+3y^2.$$
Пусть искомый многочлен во втором пункте равен $$*$$. Тогда
$$a^3-6a^2+2a-(* )=a^5+2a^2-7.$$
Перенесём многочлен в правую часть:
$$* = a^3-6a^2+2a-(a^5+2a^2-7).$$
Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:
$$* = a^3-6a^2+2a-a^5-2a^2+7 = -a^5+a^3-8a^2+2a+7.$$
Пусть
$$m=11a+9,\qquad n=11b+5,$$
где $$a$$ и $$b$$ — целые числа. Тогда
$$mn=(11a+9)(11b+5).$$
Раскроем скобки:
$$mn=121ab+55a+99b+45.$$
Представим число $$45$$ в виде $$44+1$$:
$$mn=121ab+55a+99b+44+1.$$
Все слагаемые, кроме $$1$$, делятся на $$11$$:
$$mn=11(11ab+5a+9b+4)+1.$$
Значит, при делении $$mn$$ на $$11$$ остаток равен $$1$$.
Ответ
1) $$12x^2-4xy+3y^2$$; 2) $$-a^5+a^3-8a^2+2a+7$$; 3) остаток равен $$1$$.
