Упр.422 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) -4;
2) 9;
3) -2а3;
4) 3а?
Остаток при делении натурального числа а на 8 равен 3, а остаток при делении натурального числа b на 8 равен 7. Докажите, что остаток при делении произведения чисел а и b на 8 равен 5.

Пусть из двучлена $$4a^3-8$$ надо вычесть многочлен $$M$$, чтобы разность была равна заданному выражению. Тогда:

1. $$\left(4a^3-8\right)-M=-4$$

   $$M=4a^3-8+4=4a^3-4$$

2. $$\left(4a^3-8\right)-M=9$$

   $$M=4a^3-8-9=4a^3-17$$

3. $$\left(4a^3-8\right)-M=-2a^3$$

   $$M=4a^3-8+2a^3=6a^3-8$$

4. $$\left(4a^3-8\right)-M=3a$$

   $$M=4a^3-8-3a=4a^3-3a-8$$

Докажем, что остаток при делении произведения $$ab$$ на $$8$$ равен $$5$$.

Так как остаток при делении $$a$$ на $$8$$ равен $$3$$, а остаток при делении $$b$$ на $$8$$ равен $$7$$, то

$$a=8n+3,\quad b=8m+7$$

Тогда

$$ab=(8n+3)(8m+7)=64mn+56n+24m+21$$

Преобразуем:

$$ab=8(8mn+7n+3m+2)+5$$

Значит, при делении $$ab$$ на $$8$$ остаток равен $$5$$.

Ответ

1) $$4a^3-4$$; 2) $$4a^3-17$$; 3) $$6a^3-8$$; 4) $$4a^3-3a-8$$; остаток равен $$5$$.