Упр.344 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Докажите, что:
1) сумма чисел abc, bca и cab кратна 111;
2) разность числа abc и суммы его цифр делится нацело на 9.

Подробный ответ

1) Разобьём все «счастливые» билеты на пары, переставляя в номере первые три цифры с последними тремя. Например, билетам $$239671$$ и $$671239$$ соответствует одна и та же сумма трёх первых и трёх последних цифр.

Если номер билета имеет вид $$abcxyz$$ и он «счастливый», то билет $$xyzabc$$ тоже «счастливый». Такие два билета образуют пару. Исключение составляют билеты, у которых первые три цифры совпадают с последними тремя, то есть номера вида $$abcabc$$.

Число таких билетов равно числу троек цифр $$abc$$, то есть $$1000$$. Это число чётно. Все остальные «счастливые» билеты разбиваются на пары, значит, общее количество «счастливых» билетов тоже чётно.

2) Пусть число $$abc$$ означает трёхзначное число с цифрами $$a, b, c$$. Тогда

$$
abc=100a+10b+c.
$$

Сложим числа $$abc$$, $$bca$$ и $$cab$$:

$$
abc+bca+cab=(100a+10b+c)+(100b+10c+a)+(100c+10a+b)
$$
$$
=111a+111b+111c=111(a+b+c).
$$

Следовательно, сумма чисел $$abc$$, $$bca$$ и $$cab$$ кратна $$111$$.

3) Найдём разность числа $$abc$$ и суммы его цифр:

$$
abc-(a+b+c)=100a+10b+c-a-b-c=99a+9b=9(11a+b).
$$

Значит, эта разность делится нацело на $$9$$.