Упр.336 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение суммы двучленов 16a — 6b и 27b — 2а, где а и b — произвольные натуральные числа, делится нацело на 7.

1) Представим числа в виде произведений:

$$48=6\cdot 8,\qquad 344=43\cdot 8.$$

Тогда

$$48^{25}=(6\cdot 8)^{25}=6^{25}\cdot 8^{25},$$

$$344^{17}=(43\cdot 8)^{17}=43^{17}\cdot 8^{17}.$$

Сравним эти выражения. Так как $$6<43,$$ то

$$6^{25}<43^{17}$$

непосредственно не следует, поэтому преобразуем иначе:

$$48^{25}=6^{25}\cdot 8^{25}=6^8\cdot 6^{17}\cdot 8^{17}\cdot 8^8,$$

$$344^{17}=43^{17}\cdot 8^{17}.$$

Достаточно заметить, что $$6^8<43^{17}$$ и, следовательно, после умножения на положительное число $$6^{17}\cdot 8^{17}\cdot 8^8$$ получаем

$$48^{25}<344^{17}.$$

2) Найдём сумму двучленов:

$$\left(16a-6b\right)+\left(27b-2a\right)=16a-6b+27b-2a=14a+21b.$$

Вынесем общий множитель:

$$14a+21b=7(2a+3b).$$

Так как $$2a+3b$$ — натуральное число, то выражение делится нацело на $$7$$.

Ответ

$$48^{25}<344^{17};\quad \left(16a-6b\right)+\left(27b-2a\right)=7(2a+3b),$$ значит, сумма делится на $$7$$.