Упр.330 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) 10^40 и 10 001^10;
2) 124^4 и 5^12;
3) 8^12 и 59^6;
4) 6^14 и 2^16 * 3^12. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения (5n + 9) — (5 — 2n) при делении на 7 даёт остаток, равный 4.

1. $$10^{40}=(10^4)^{10}=10000^{10},$$

   а так как $$10000<10001,$$ то

   $$10^{40}<10001^{10}.$$

2. $$124^4<125^4,$$

   так как $$124<125.$$

   При этом

   $$125^4=(5^3)^4=5^{12},$$

   значит,

   $$124^4<5^{12}.$$

3. $$8^{12}=(8^2)^6=64^6,$$

   а так как $$64>59,$$ то

   $$64^6>59^6.$$

   Следовательно,

   $$8^{12}>59^6.$$

4. $$6^{14}=6^2\cdot 6^{12}=36\cdot 6^{12},$$

   $$2^{16}\cdot 3^{12}=(2^4\cdot 3^4)\cdot 3^{12}=16\cdot 6^{12}.$$

   Так как $$36>16,$$ то

   $$6^{14}>2^{16}\cdot 3^{12}.$$

5. Преобразуем выражение:

   $$ (5n+9)-(5-2n)=5n+9-5+2n=7n+4.$$

   Число $$7n+4$$ при делении на $$7$$ даёт остаток $$4$$, так как $$7n$$ делится на $$7$$ без остатка.

Ответ

$$10^{40}<10001^{10},\quad 124^4<5^{12},\quad 8^{12}>59^6,\quad 6^{14}>2^{16}\cdot 3^{12};$$ при делении $$ (5n+9)-(5-2n) $$ на $$7$$ остаток равен $$4$$.