Упр.289 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) а6 * * = а14;
2) * • a6 = a7;
3) а10 * * * а2 = а18.
Замените звёздочки такими цифрами, чтобы:
1) число *5* делилось нацело на 3 и на 10;
2) число 13*2* делилось нацело на 9 и на 5;
3) число 58* делилось нацело на 2 и на 3.
Найдите все возможные решения.

Подробный ответ

1) Чтобы равенство $$a^6 \cdot a^x = a^{14}$$ было верным, складываем показатели степеней:

$$6+x=14,$$

откуда $$x=8.$$

Значит, $$a^6 \cdot a^8 = a^{14}.$$

2) Для равенства $$a^x \cdot a^6 = a^7$$ получаем:

$$x+6=7,$$

откуда $$x=1.$$

Значит, $$a \cdot a^6 = a^7.$$

3) Для равенства $$a^{10} \cdot a^x \cdot a^2 = a^{18}$$ имеем:

$$10+x+2=18,$$

откуда $$x=6.$$

Значит, $$a^{10} \cdot a^6 \cdot a^2 = a^{18}.$$

Теперь подберём цифры.

1) Число $$\ast 5 \ast$$ должно делиться на $$3$$ и на $$10$$.
Чтобы число делилось на $$10$$, последняя цифра должна быть $$0$$. Тогда число имеет вид $$\ast 50$$.
Чтобы оно делилось на $$3$$, сумма цифр должна делиться на $$3$$:

$$\ast+5+0 \text{ делится на } 3.$$

Подходят цифры $$1,4,7$$. Получаем числа: $$150,\ 450,\ 750.$$

2) Число $$13\ast 2\ast$$ должно делиться на $$9$$ и на $$5$$.
Чтобы число делилось на $$5$$, последняя цифра должна быть $$0$$ или $$5$$.

Если последняя цифра $$0$$, то число имеет вид $$13\ast 20$$. Для делимости на $$9$$ сумма цифр должна делиться на $$9$$:

$$1+3+\ast+2+0=6+\ast.$$

Значит, $$\ast=3$$, получаем число $$13320.$$

Если последняя цифра $$5$$, то число имеет вид $$13\ast 25$$. Тогда

$$1+3+\ast+2+5=11+\ast.$$

Чтобы сумма делилась на $$9$$, нужно $$\ast=7$$, получаем число $$13725.$$

3) Число $$58\ast$$ должно делиться на $$2$$ и на $$3$$.
Чтобы число делилось на $$2$$, последняя цифра должна быть чётной.
Чтобы число делилось на $$3$$, сумма цифр должна делиться на $$3$$:

$$5+8+\ast=13+\ast.$$

Подходят чётные цифры $$2$$ и $$8$$, так как

$$13+2=15,\quad 13+8=21.$$

Получаем числа $$582$$ и $$588.$$