Упр.285 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 2^2*2^3 и 2^5;
2) 4^2*4^1 и 4^3;
3) (3^3)2 и 3^6;
4) ((1/2)4)3 и (1/2)12;
5) 5^3 * 2^3 и (5*2)3;
6) (0,25*4)2 и 0,25^2*4^2. Значения переменных а, b и с таковы, что 2а2b = 7, а3с2 = 2. Найдите значение выражения:
1) 6а5bc2;
2) а7b2с2;
3) 2*1/7*a8bс4.

Подробный ответ

Используем свойства степеней:

$$a^m \cdot a^n = a^{m+n}, \qquad (a^m)^n = a^{mn}, \qquad (ab)^n = a^n b^n.$$

$$2^2 \cdot 2^3 = 2^{2+3} = 2^5,$$
значит, выражения равны.
$$4^2 \cdot 4^1 = 4^{2+1} = 4^3,$$
значит, выражения равны.
$$(3^3)^2 = 3^{3\cdot 2} = 3^6,$$
значит, выражения равны.
$$\left(\left(\frac12\right)^4\right)^3 = \left(\frac12\right)^{4\cdot 3} = \left(\frac12\right)^{12},$$
значит, выражения равны.
$$5^3 \cdot 2^3 = (5\cdot 2)^3,$$
значит, выражения равны.
$$(0{,}25\cdot 4)^2 = 1^2 = 1,$$
$$0{,}25^2 \cdot 4^2 = (0{,}25\cdot 4)^2 = 1,$$
значит, выражения равны.

Теперь найдём значения выражений при условиях $$2a^2b=7$$ и $$a^3c^2=2$$.

$$6a^5bc^2 = 3\cdot (2a^2b)\cdot (a^3c^2) = 3\cdot 7\cdot 2 = 42.$$
$$a^7b^2c^2 = a^4b^2\cdot a^3c^2 = (a^2b)^2\cdot (a^3c^2) = \left(\frac72\right)^2\cdot 2 = \frac{49}{4}\cdot 2 = \frac{49}{2} = 24{,}5.$$
$$2\frac17 a^8bc^4 = \frac{15}{7}\cdot (a^2b)\cdot (a^6c^4) = \frac{15}{7}\cdot (a^2b)\cdot (a^3c^2)^2.$$
Так как $$a^2b=\frac72$$ и $$a^3c^2=2,$$ то
$$\frac{15}{7}\cdot \frac72 \cdot 2^2 = \frac{15}{7}\cdot \frac72 \cdot 4 = 15\cdot 2 = 30.$$