Упр.248 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) 3^2 + 4^2 = 7^2;
2) 5^2 + 12^2 = 13^2;
3) 1^2 + 3^2 + 5^2 + 7^2 + 9^2 = 13^2;
4) (1 + 2 + 3)2 = 1^3 + 2^3 + 3^3? Какой цифрой оканчивается значение выражения (n — натуральное число):
1) 4^100;
2) З4n;
3) 4n;
4) 3n?

Подробный ответ

Проверим равенства:
$$3^2+4^2=9+16=25,\qquad 7^2=49,$$
значит, $$3^2+4^2\ne 7^2.$$
$$5^2+12^2=25+144=169,\qquad 13^2=169,$$
значит, $$5^2+12^2=13^2.$$
$$1^2+3^2+5^2+7^2+9^2=1+9+25+49+81=165,$$
а
$$13^2=169,$$
значит, $$1^2+3^2+5^2+7^2+9^2\ne 13^2.$$
$$\left(1+2+3\right)^2=6^2=36,$$
а
$$1^3+2^3+3^3=1+8+27=36,$$
значит, $$\left(1+2+3\right)^2=1^3+2^3+3^3.$$
Определим, какой цифрой оканчивается значение выражения:
$$4^{100}=\left(4^2\right)^{50}=16^{50},$$
поэтому число оканчивается цифрой $$6.$$
$$3^{4n}=\left(3^4\right)^n=81^n,$$
а любое число, оканчивающееся цифрой $$1,$$ в любой натуральной степени оканчивается цифрой $$1.$$
Степени числа $$4$$ чередуют последние цифры:
$$4^1=4,\;4^2=16,\;4^3=64,\;4^4=256,$$ поэтому при нечётной степени последняя цифра $$4,$$ при чётной — $$6.$$
Степени числа $$3$$ оканчиваются цифрами $$3,9,7,1$$ и далее повторяются:
$$3^1=3,\;3^2=9,\;3^3=27,\;3^4=81,\;3^5=243.$$