Упр.196 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Докажите, что значение выражения:
1) 10^100 + 8 делится нацело на 9;
2) 111n — 6 делится нацело на 5 при любом натуральном значении n.

1) Пусть $$x$$ км/ч — скорость одного автомобиля, тогда $$x+10$$ км/ч — скорость второго.

За $$2$$ ч они вместе проедут $$2x+2(x+10)$$ км. Так как расстояние между городами было $$270$$ км, а через $$2$$ ч между автомобилями осталось $$30$$ км, то

$$
2x+2(x+10)=270-30
$$

$$
2x+2x+20=240
$$

$$
4x=220
$$

$$
x=55
$$

Тогда скорость второго автомобиля:

$$
55+10=65
$$

2) $$10^{100}+8$$ делится нацело на $$9$$, так как число $$10^{100}$$ оканчивается на $$1$$, значит, сумма цифр числа $$10^{100}+8$$ равна $$1+8=9$$. Следовательно, это число делится на $$9$$.

3) $$111n-6$$ делится нацело на $$5$$ при любом натуральном $$n$$, так как число $$111$$ при возведении в любую натуральную степень оканчивается на $$1$$, значит, $$111^n-6$$ оканчивается на $$5$$. Следовательно, оно делится на $$5$$.

Ответ

$$55$$ км/ч и $$65$$ км/ч; $$10^{100}+8$$ делится на $$9$$; $$111^n-6$$ делится на $$5$$ при любом натуральном $$n$$.