Упр.1418 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n7 -n кратно 42.

Подробный ответ

Разложим выражение на множители:

$$n^7-n=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1).$$

Среди трёх последовательных чисел $$n-1,\; n,\; n+1$$ одно обязательно делится на $$3$$, а одно — на $$2$$. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.

Осталось доказать, что выражение $$\left(n^2+1\right)^2-n^2$$ делится на $$7$$, так как

$$n^7-n=n(n-1)(n+1)\left(\left(n^2+1\right)^2-n^2\right).$$

Рассмотрим возможные остатки числа $$n$$ при делении на $$7$$.

Если $$n \equiv 0,\pm 1 \pmod 7$$, то одно из чисел $$n,\; n-1,\; n+1$$ делится на $$7$$.
Если $$n \equiv \pm 2 \pmod 7$$, то $$n^2 \equiv 4 \pmod 7$$, и тогда
$$\left(n^2+1\right)^2-n^2 \equiv (4+1)^2-4=25-4=21 \equiv 0 \pmod 7.$$
Если $$n \equiv \pm 3 \pmod 7$$, то $$n^2 \equiv 9 \equiv 2 \pmod 7$$, и тогда
$$\left(n^2+1\right)^2-n^2 \equiv (2+1)^2-2=9-2=7 \equiv 0 \pmod 7.$$

Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)\left(\left(n^2+1\right)^2-n^2\right)$$ делится и на $$6$$, и на $$7$$. Так как $$6$$ и $$7$$ взаимно просты, то всё выражение делится на $$42$$.