Упр.1415 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 1415 715

Подробный ответ

Пусть натуральное число не кратно 3. Тогда оно имеет вид $$3n+1$$ или $$3n+2$$, где $$n$$ — натуральное число или целое неотрицательное число.

Рассмотрим оба случая.

1) Если число имеет вид $$3n+1$$, то

$$
(3n+1)^2-1=9n^2+6n+1-1=9n^2+6n=3(3n^2+2n),
$$

значит, выражение кратно 3.

2) Если число имеет вид $$3n+2$$, то

$$
(3n+2)^2-1=9n^2+12n+4-1=9n^2+12n+3=3(3n^2+4n+1),
$$

значит, и в этом случае выражение кратно 3.

Следовательно, разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.