Упр.1413 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно квадрату некоторого натурального числа. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 1413 715

Преобразуем выражение:

$$
n(n+1)(n+2)(n+3)+1
$$
$$
= n(n+3)(n+1)(n+2)+1
$$
$$
= (n^2+3n)(n^2+3n+2)+1
$$

Обозначим $$a=n^2+3n+1$$. Тогда

$$
n^2+3n=a-1,\qquad n^2+3n+2=a+1
$$

Следовательно,

$$
(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1=(a-1)(a+1)+1=a^2-1+1=a^2
$$

Значит,

$$
n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2
$$

Это квадрат натурального числа $$n^2+3n+1$$.

Ответ

$$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n+1)^2$$