Упр.1412 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) х2 + у2 = а2 — 2b;
2) х3 + y3 = а3 — 3аb;
3) х4 + у4 = a4 — 4а2b + 2b2.

Пусть $$x+y=a$$ и $$xy=b$$. Докажем каждое равенство.

1. $$x^2+y^2=(x+y)^2-2xy$$
   $$=a^2-2b.$$

2. $$x^3+y^3=(x+y)(x^2-xy+y^2)$$
   $$=(x+y)\bigl((x+y)^2-3xy\bigr)$$
   $$=a(a^2-3b)=a^3-3ab.$$

3. $$x^4+y^4=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2$$
   $$=(a^2-2b)^2-2b^2$$
   $$=a^4-4a^2b+4b^2-2b^2$$
   $$=a^4-4a^2b+2b^2.$$

Ответ

$$x^2+y^2=a^2-2b,$$
$$x^3+y^3=a^3-3ab,$$
$$x^4+y^4=a^4-4a^2b+2b^2.$$