Упр.1411 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Пусть три последовательных натуральных числа — это $$n,\; n+1,\; n+2.$$ Тогда среднее из них равно $$n+1.$$

Рассмотрим сумму произведения этих чисел и среднего числа:

$$n(n+1)(n+2)+(n+1).$$

Вынесем общий множитель $$n+1$$:

$$n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)\bigl(n(n+2)+1\bigr).$$

Раскроем скобки:

$$n(n+2)+1=n^2+2n+1=(n+1)^2.$$

Тогда

$$n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)(n+1)^2=(n+1)^3.$$

Значит, сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Ответ

$$n(n+1)(n+2)+(n+1)=(n+1)^3.$$