Упр.1409 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что значение выражения 17^10 — 3 * 7^24 + 3 * 7^25 + 17^9 делится нацело: 1) на 18; 2) на 36.

Преобразуем выражение:

$$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9=17^9(17+1)-3\cdot 7^{24}(1-7).$$

Тогда

$$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9=17^9\cdot 18-3\cdot 7^{24}\cdot(-6)=18\cdot 17^9+18\cdot 7^{24}.$$

Следовательно,

$$17^{10}-3\cdot 7^{24}+3\cdot 7^{25}+17^9=18\,(17^9+7^{24}).$$

Значит, данное выражение делится на $18$.

Теперь рассмотрим число $17^9+7^{24}$. Оба слагаемых нечётные, значит их сумма чётная. Тогда

$$17^9+7^{24}=2k$$

для некоторого целого $k$.

Подставим:

$$18\,(17^9+7^{24})=18\cdot 2k=36k.$$

Следовательно, исходное выражение делится и на $36$.

Ответ

1) делится на $18$; 2) делится на $36$.