Упр.140 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

1) не имело корней;
2) имело бесконечно много корней;
3) имело один корень.
Какие из данных равенств являются тождествами:
1) (2а — 3b)2 = (3b — 2а)2;
2) (а — b)3 = (b — а)3;
3) |а + 5| = а + 5;
4) |а — 6| = |b — а|;
5) |а2 + 4| = а2 + 4;
6) |а + b| = |а| + |b|;
7) |а — 1| = |a| — 1;
8) а2 — b2 = (а — b)2?

1) Преобразуем левую часть уравнения:

$$2(1{,}5x-0{,}5)=3x-1.$$

Тогда получаем:

$$3x-1=7x+*,$$

$$-4x=*+1.$$

Рассмотрим случаи.

• Если корней нет, то коэффициент при $x$ должен исчезнуть, а свободные члены — не совпасть: $$*=-4x.$$
• Если корней бесконечно много, то уравнение должно превратиться в тождество: $$*=-4x-1.$$
• Если уравнение имеет один корень, то нужно, чтобы коэффициент при $x$ был ненулевым. Подойдёт, например: $$*=3.$$ Тогда $$-4x=4,$$ откуда $$x=-1.$$

2) Проверим, какие равенства являются тождествами.

1. $$ (2a-3b)^2=(3b-2a)^2 $$ — тождество, так как $$3b-2a=-(2a-3b).$$
2. $$ (a-b)^3=(b-a)^3 $$ — не является тождеством, так как $$b-a=-(a-b),$$ а значит $$ (b-a)^3=-(a-b)^3.$$
3. $$ |a+5|=a+5 $$ — не является тождеством, верно только при $$a\ge -5.$$
4. $$ |a-6|=|b-a| $$ — не является тождеством.
5. $$ |a^2+4|=a^2+4 $$ — тождество, так как $$a^2+4>0$$ при любом $$a.$$
6. $$ |a+b|=|a|+|b| $$ — не является тождеством.
7. $$ |a-1|=|a|-1 $$ — не является тождеством.
8. $$ a^2-b^2=(a-b)^2 $$ — не является тождеством, так как $$a^2-b^2=(a-b)(a+b).$$

Ответ

1) $$*=-4x$$ — корней нет; $$*=-4x-1$$ — бесконечно много корней; $$*=3$$ — один корень.

2) Тождествами являются равенства 1 и 5.