Упр.1390 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения (n2 — Зn + 1 )2 — n4 — 8n2 + Зn + 5 кратно 6. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 1390 715

Подробный ответ

Преобразуем выражение:

$$
(n^2-3n+1)^2-n^4-8n^2+3n+5
$$

Раскроем скобки:

$$
(n^2-3n+1)^2=n^4-6n^3+11n^2-6n+1
$$

Тогда

$$
\begin{aligned}
&(n^2-3n+1)^2-n^4-8n^2+3n+5 \\
&= n^4-6n^3+11n^2-6n+1-n^4-8n^2+3n+5 \\
&= -6n^3+3n^2-3n+6 \\
&= -6(n^3-1)+3n(n-1).
\end{aligned}
$$

Так как

$$
n^3-1=(n-1)(n^2+n+1),
$$

то первое слагаемое кратно $$6$$. Во втором слагаемом произведение $$n(n-1)$$ — это произведение двух последовательных натуральных чисел, значит, одно из них чётное, поэтому $$n(n-1)$$ делится на $$2$$. Следовательно, $$3n(n-1)$$ кратно $$6$$.

Значит, всё выражение кратно $$6$$ при любом натуральном $$n$$.