Упр.1342 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Представьте выражение 12ab в виде разности квадратов двух многочленов. Сколько решений имеет задача?

Используем формулу разности квадратов:

$$A^2-B^2=(A-B)(A+B).$$

Подберём такие многочлены, чтобы их разность квадратов равнялась $$12ab$$. Например, возьмём

$$A=a+3b,\quad B=a-3b.$$

Тогда

$$
(a+3b)^2-(a-3b)^2
=((a+3b)-(a-3b))((a+3b)+(a-3b))
=6b\cdot 2a
=12ab.
$$

Значит,

$$12ab=(a+3b)^2-(a-3b)^2.$$

Таких представлений можно составить бесконечно много, потому что можно выбирать разные многочлены $$A$$ и $$B$$, удовлетворяющие условию $$A^2-B^2=12ab$$.

Ответ

$$12ab=(a+3b)^2-(a-3b)^2.$$ Решений бесконечно много.