Упр.131 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) nх — -5;
2) (n — 6)x = 25
является натуральным числом.
Найдите все натуральные значения n, при которых значение каждого из выражений n — 2, n + 24, n + 26 является простым числом.

Подробный ответ

1) $$nx=-5$$

Если $$n=0$$, уравнение не имеет смысла. При $$n\neq 0$$

$$x=\frac{-5}{n}.$$

Чтобы корень был натуральным числом, число $$\frac{-5}{n}$$ должно быть натуральным. Значит, $$n$$ — отрицательный делитель числа $$5$$:

$$n=-1,\,-5.$$

Проверим:

при $$n=-1$$: $$x=\frac{-5}{-1}=5$$;

при $$n=-5$$: $$x=\frac{-5}{-5}=1$$.

Оба значения подходят.

2) $$(n-6)x=25$$

Если $$n=6$$, уравнение не имеет решений. При $$n\neq 6$$

$$x=\frac{25}{n-6}.$$

Чтобы корень был натуральным числом, число $$n-6$$ должно быть положительным делителем числа $$25$$:

$$n-6=1,\;5,\;25.$$

Тогда

$$n=7,\;11,\;31.$$

Проверка:

при $$n=7$$: $$x=\frac{25}{7-6}=25$$;

при $$n=11$$: $$x=\frac{25}{11-6}=5$$;

при $$n=31$$: $$x=\frac{25}{31-6}=1$$.

3) Найдём все натуральные $$n$$, при которых числа $$n-2$$, $$n+24$$, $$n+26$$ — простые.

Если $$n$$ — чётное, то все три числа чётные. Тогда они не могут быть простыми, кроме числа $$2$$, но здесь это невозможно одновременно. Значит, $$n$$ должно быть нечётным.

Тогда числа $$n-2$$, $$n+24$$, $$n+26$$ тоже нечётные. Проверим подходящие значения:

при $$n=3$$: $$n-2=1$$, $$n+24=27$$, $$n+26=29$$ — не подходят;

при $$n=5$$: $$n-2=3$$, $$n+24=29$$, $$n+26=31$$ — все числа простые.

Других натуральных значений $$n$$ нет.