Упр.1288 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Докажите, что разность квадратов двух произвольных натуральных чисел, каждое из которых не делится нацело на 3, кратна 3.

Подробный ответ

Любое натуральное число, не делящееся нацело на 3, при делении на 3 даёт остаток 1 или 2. Значит, такие числа можно записать в виде $$3n+1$$ и $$3m+2$$, где $$n$$ и $$m$$ — натуральные числа или ноль.

Рассмотрим разность их квадратов:

$$
(3n+1)^2-(3m+2)^2
=9n^2+6n+1-(9m^2+12m+4)
$$

$$
=9n^2-9m^2+6n-12m-3
=3(3n^2-3m^2+2n-4m-1).
$$

Получили произведение числа 3 на целое выражение, значит, разность квадратов данных чисел кратна 3.