Упр.1231 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

система
х + у = 5,
Зх -mу = n:
1) имеет бесконечно много решений;
2) имеет единственное решение;
3) не имеет решений.
Половину конфет расфасовали в мешочки по 500 г в каждый, а вторую половину — в меньшие мешочки по 300 г в каждый. Всего получилось 32 мешочка. Сколько было конфет?

Подробный ответ

1) Чтобы система имела бесконечно много решений, её уравнения должны задавать одну и ту же прямую. Умножим первое уравнение на $$3$$:

$$
\begin{cases}
x+y=5 \\
3x-my=n
\end{cases}
\quad \Rightarrow \quad
\begin{cases}
3x+3y=15 \\
3x-my=n
\end{cases}
$$

Для совпадения прямых коэффициенты при $$y$$ и свободные члены должны быть одинаковыми:

$$
-m=3,\quad n=15
$$

Значит, $$m=-3,\ n=15$$.

2) Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. Это происходит, когда они не параллельны, то есть коэффициенты при $$y$$ не пропорциональны:

$$
-m \ne 3 \quad \Rightarrow \quad m \ne -3
$$

При любом $$n$$ система тогда имеет единственное решение.

3) Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны, но не совпадать. Значит, коэффициенты при $$y$$ должны быть пропорциональны, а свободные члены — нет:

$$
-m=3,\quad n\ne 15
$$

Следовательно, $$m=-3,\ n\ne 15$$.