Упр.1225 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) имеет единственное решение;
2) имеет бесконечно много решений;
3) не имеет решений.
По окружности, длина которой равна 100 м, движутся два тела. Они встречаются каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Если бы они двигались в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 4 с. С какой скоростью они движутся?

Подробный ответ

1) Чтобы система имела единственное решение, прямые должны пересекаться. Подойдёт, например, уравнение

$$-2x-3y=6.$$

Тогда система имеет единственное решение.

2) Чтобы система имела бесконечно много решений, второе уравнение должно быть следствием первого. Например, умножим первое уравнение на $$\frac12$$:

$$x-\frac32y=3.$$

Тогда система имеет бесконечно много решений.

3) Чтобы система не имела решений, прямые должны быть параллельны. Возьмём уравнение с теми же коэффициентами при $$x$$ и $$y$$, но с другим свободным членом:

$$2x-3y=5.$$

Тогда система не имеет решений.

4) Пусть скорость первого тела равна $$x$$ м/с, а второго — $$y$$ м/с.

При движении в одном направлении они встречаются каждые $$20$$ с, значит, за это время одно тело «нагоняет» другое на длину окружности:

$$20(x-y)=100.$$

При движении в противоположных направлениях они встречаются каждые $$4$$ с, значит:

$$4(x+y)=100.$$

Получаем систему:

$$
\begin{cases}
20(x-y)=100,\\
4(x+y)=100.
\end{cases}
$$

Упростим:

$$
\begin{cases}
x-y=5,\\
x+y=25.
\end{cases}
$$

Сложим уравнения: