Упр.1223 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) система
2х — 7у = 6,
8х — 28у = 24;
2) система
2 х + у = -2,
6х + 3y = 9;
3) система
х + 2y = 0,5,
2х + 4y=2? При каком значении а сумма х + у принимает наименьшее значение, если:
система
2х + 3у = 2а2 -12а + 8,
13х — 2у = 3а2 + 8а +12?

Подробный ответ

1) Умножим первое уравнение на $$4$$:
$$
\begin{cases}
2x-7y=6,\\
8x-28y=24.
\end{cases}
$$
Получили одно и то же уравнение, значит, прямые совпадают. Система имеет бесконечно много решений.
2) Умножим первое уравнение на $$3$$:
$$
\begin{cases}
2x+y=-2,\\
6x+3y=9.
\end{cases}
$$
Тогда
$$
\begin{cases}
6x+3y=-6,\\
6x+3y=9.
\end{cases}
$$
Левые части одинаковые, а правые разные, значит, система не имеет решений.
3) Умножим первое уравнение на $$2$$:
$$
\begin{cases}
x+2y=0{,}5,\\
2x+4y=2.
\end{cases}
$$
Получим
$$
\begin{cases}
2x+4y=1,\\
2x+4y=2.
\end{cases}
$$
Левые части одинаковые, правые разные, значит, система не имеет решений.
4) Найдём, при каком значении $$a$$ сумма $$x+y$$ наименьшая.
Умножим первое уравнение на $$3$$, а второе на $$2$$:
$$
\begin{cases}
2x+3y=2a^2-12a+8,\\
13x-2y=3a^2+8a+12
\end{cases}
$$
$$
\begin{cases}
6x+9y=6a^2-36a+24,\\
26x-4y=6a^2+16a+24.
\end{cases}
$$
Сложим уравнения:
$$
32x+5y=12a^2-20a+48.
$$
Но удобнее сначала выразить $$y$$ из преобразованной системы:
$$
\begin{cases}
6x+9y=6a^2-36a+24,\\
6x-4y=6a^2+16a+24.
\end{cases}
$$
Вычтем второе уравнение из первого:
$$
13y=-52a,
$$
откуда
$$
y=-4a.
$$
Подставим в уравнение $$6x-4y=6a^2+16a+24$$:
$$
6x-4(-4a)=6a^2+16a+24
$$
$$
6x+16a=6a^2+16a+24
$$
$$
6x=6a^2+24
$$
$$
x=a^2+4.
$$
Тогда
$$
x+y=a^2+4-4a=a^2-4a+4=(a-2)^2.
$$
Выражение $$ (a-2)^2 $$ принимает наименьшее значение, равное $$0$$, при $$a=2$$.