Упр.1208 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)

Задача

1) (x — 8)2 -(х — 4)(x + 4) = 0;
2) (4х — 5)(4x + 5) — (4x -1)2 = 9 — 2x. Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n7 -n кратно 42.

Подробный ответ

$$ (x-8)^2-(x-4)(x+4)=0 $$
Раскроем скобки:
$$ x^2-16x+64-(x^2-16)=0 $$
$$ x^2-16x+64-x^2+16=0 $$
$$ -16x+80=0 $$
$$ 16x=80 $$
$$ x=5 $$
$$ (4x-5)(4x+5)-(4x-1)^2=9-2x $$
Используем формулы сокращённого умножения:
$$ (4x-5)(4x+5)=16x^2-25 $$
$$ (4x-1)^2=16x^2-8x+1 $$
Тогда
$$ 16x^2-25-(16x^2-8x+1)=9-2x $$
$$ 8x-26=9-2x $$
$$ 10x=35 $$
$$ x=3{,}5 $$
Докажем, что $$n^7-n$$ кратно $$42$$ при любом натуральном $$n$$.
Разложим выражение на множители:
$$ n^7-n=n(n^6-1)=n(n^3-1)(n^3+1)=n(n-1)(n+1)(n^2+n+1)(n^2-n+1) $$
Среди трёх последовательных чисел $$n-1,\;n,\;n+1$$ одно делится на $$3$$, а одно из чисел $$n-1$$ и $$n+1$$ чётное. Значит, произведение $$n(n-1)(n+1)$$ делится на $$6$$.
Осталось показать, что выражение
$$ (n^2+n+1)(n^2-n+1) $$
делится на $$7$$.
Рассмотрим возможные остатки числа $$n$$ при делении на $$7$$:
- если $$n\equiv 0,\pm1 \pmod 7$$, то один из множителей $$n^2+n+1$$ или $$n^2-n+1$$ делится на $$7$$;
- если $$n\equiv \pm2 \pmod 7$$, то $$n^2\equiv 4 \pmod 7$$, и
  $$ n^2+n+1 \equiv 4+2+1=7 \equiv 0 \pmod 7 $$
- если $$n\equiv \pm3 \pmod 7$$, то $$n^2\equiv 2 \pmod 7$$, и
  $$ n^2-n+1 \equiv 2-3+1=0 \pmod 7 $$
Значит, произведение $$ (n^2+n+1)(n^2-n+1) $$ делится на $$7$$.
Следовательно, $$n^7-n$$ делится и на $$6$$, и на $$7$$. Так как $$6$$ и $$7$$ взаимно просты, то $$n^7-n$$ делится на
$$ 6\cdot 7=42 $$