Упр.1206 ГДЗ Мерзляк Полонский 7 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Мерзляк, Полонская, Якир 7 класс, Вентана-Граф: Известно, что 4 одинаковых экскаватора могут вырыть котлован за 12 ч За какое время 6 таких же экскаваторов выроют 3 таких котлована? Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения n4 — 1 делится нацело на 5. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 7 merzlyak7 1206 715
1) Найдём, за какое время один экскаватор выроет один котлован.
Если 4 одинаковых экскаватора вырывают котлован за 12 ч, то один экскаватор выроет его за
$$4 \cdot 12 = 48 \text{ ч}.$$
Тогда три котлована один экскаватор выроет за
$$48 \cdot 3 = 144 \text{ ч}.$$
Теперь найдём, за какое время 6 таких экскаваторов выроют 3 котлована:
$$144 : 6 = 24 \text{ ч}.$$
2) Докажем, что при любом натуральном $$n$$, не кратном 5, число $$n^4 — 1$$ делится нацело на 5.
Если $$n$$ не кратно 5, то
$$n = 5a + 1,\quad n = 5a + 2,\quad n = 5a + 3 \text{ или } n = 5a + 4.$$
Достаточно рассмотреть остатки при делении на 5. Для любого числа, не кратного 5, возможны остатки 1, 2, 3, 4. Тогда:
$$1^4 — 1 = 0,$$
$$2^4 — 1 = 16 — 1 = 15,$$
$$3^4 — 1 = 81 — 1 = 80,$$
$$4^4 — 1 = 256 — 1 = 255.$$
Во всех случаях число $$n^4 — 1$$ делится на 5.
Можно записать и в общем виде: если $$n = 5a + r$$, где $$r \in \{1,2,3,4\}$$, то
$$n^4 — 1 \equiv r^4 — 1 \pmod{5},$$
а для каждого из остатков $$r = 1,2,3,4$$ получаем число, кратное 5.
Ответ
1) $$24$$ ч.
2) $$n^4 — 1$$ делится нацело на $$5$$ при любом натуральном $$n$$, не кратном $$5$$.
